.jpg)
Postingan
Matematika adalah studi tentang kuantitas, struktur, ruang dan perubahan. Matematika dikembangkan melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logis, mulai dari penghitungan, pengukuran dan studi bentuk serta gerak objek fisis.
Kuantitas
Kuantitas adalah istilah umum yang digunakan ketika merujuk pada pengukuran (perhitungan, jumlah) dari skalar, vektor, jumlah benda atau suatu cara lain dari satuan nilai himpunan.
Contoh:
*
Satu apel, dua mangga, tiga jambu, dimana bilangan adalah sebuah integer sehingga tidak memerlukan tipe.
*
1,5 liter susu.
Suatu bilangan bukanlah kuantitas, bukan pula pengukuran.
Struktur
Struktur dari sesuatu adalah bagaimana bagian-bagian dari sesuatu itu berhubungan satu sama lain, bagaimana bagian-bagian tersebut diletakkan bersama-sama.
Ruang
Dalam matematika, ruang adalah sebuah himpunan, biasanya dengan beberapa struktur tambahan. Contoh: ruang Euclidean, ruang vektor, ruang metrik, ruang topologi.
Definisi ruang dalam fisika adalah beragam. Berbagai konsep digunakan untuk mencoba mendefinisikan ruang:
*
Struktur didefinisikan oleh himpunan relasi ruang antara objek-objek.
*
Manifold didefinisikan oleh sistem koordinat dimana suatu objek dapat ditempatkan yang memisahkan objek satu sama lain.
Dalam fisika klasik, ruang adalah ruang Euclidean tiga dimensi dimana sembarang posisi dapat dideskripsikan dengan menggunakan tiga koordinat. Fisika relativistik memeriksa ruang-waktu ketimbang ruang; ruang-waktu dimodelkan sebagai manifold empat dimensi.
Perubahan
Perubahan adalah kualitas yang tak tetap dan terus-menerus. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menggunakan konsep matematika dalam kalkulus untuk menyediakan model matematika dari perubahan.
Kalkulus
Kalkulus adalah cabang utama matematika, dikembangkan dari aljabar dan geometri, dan dibangun di atas dua konsep utama yang saling melengkapi.
Konsep pertama adalah kalkulus diferensial. Ini mempelajari laju perubahan, yang biasanya digambarkan oleh kemiringan garis. Kalkulus diferensial didasarkan pada soal mencari laju perubahan sesaat dari satu kuantitas terhadap kuantitas yang lain.
Contoh soal kalkulus diferensial yang khas adalah mencari kuantitas berikut:
*
Percepatan dan kecepatan benda jatuh bebas pada waktu tertentu.
*
Berkurangnya kecepatan dan lintasan peluru meriam.
Konsep kedua adalah kalkulus integral. Ini mempelajari kumpulan kuantitas, misal luasan di bawah kurva, jarak, volume.
Kalkulus Diferensial
Turunan mengukur kepekaan dari satu variabel terhadap perubahan kecil dalam variabel lain. Tinjau formula berikut:
kecepatan=jarakwaktu, untuk objek yang bergerak pada kecepatan konstan. Kecepatan (yakni, suatu turunan) mendeskripsikan perubahan lokasi relatif terhadap perubahan waktu.
Kalkulus diferensial menentukan kecepatan sesaat, pada sembarang waktu sesaat, tidak hanya kecepatan rata-rata selama suatu interval waktu. Turunan menjawab pertanyaan: ketika waktu mendekati nol, kecepatan rata-rata (jarak/waktu) mendekati apa? Dalam bahasa matematika, ini adalah contoh dari pengambilan limit.
Lebih formal, kalkulus diferensial mendefinisikan laju perubahan sesaat (turunan) dari nilai fungsi matematika, berkaitan dengan perubahan variabel. Turunan didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan.
Hukum gerak Newton, gaya = massa x percepatan, memiliki makna dalam kalkulus karena percepatan adalah turunan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori gravitasi Einstein (relativitas umum) juga dinyatakan dalam bahasa kalkulus diferensial.
Kalkulus Integral
Integral tertentu mengevaluasi pengaruh kumulatif dari banyak perubahan kecil di dalam suatu kuantitas. Contoh paling sederhana adalah formula
jarak = kecepatan x waktu, untuk menghitung jarak suatu benda yang berpindah selama suatu periode waktu ketika benda tersebut bergerak dengan kecepatan konstan. Jarak perpindahan adalah pengaruh kumulatif dari perpindahan jarak-jarak kecil di tiap-tiap detik. Kalkulus dapat berkaitan dengan situasi alami untuk benda bergerak dengan perubahan kecepatan.
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan (daerah asal, domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain.
Fungsi dan Limit
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan daerah asal (domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain. Istilah fungsi, pemetaan, dan transformasi biasanya digunakan secara sinonim. Fungsi yang domainnya adalah himpunan fungsi, atau ruang vektor, sering disebut operator.
Utamanya, fungsi adalah aturan yang menugaskan sebuah output untuk tiap-tiap input yang diberikan. Aturan mendefinisikan suatu fungsi dapat dispesifikasi oleh suatu formula, relasi, atau tabel yang mendaftar output terhadap input. Pola terpenting dari suatu fungsi adalah ia bersifat deterministik, yakni selalu menghasilkan output yang sama dari input yang sama. Input sering disebut argumen fungsi, dan output disebut nilai fungsi.
Tipe sangat umum dari fungsi terjadi ketika argumen dan nilai fungsi keduanya adalah bilangan, relasi fungsional dinyatakan oleh suatu formula, dan nilai fungsi diperoleh dengan mensubstitusi langsung argumen ke dalam formula.
Suatu fungsi mengaitkan sebuah domain (himpunan input) dengan kodomain (himpunan output yang mungkin) dalam suatu cara sehingga setiap elemen dari domain dihubungkan dengan tepat satu elemen dari kodomain. Fungsi secara abstrak didefinisikan sebagai relasi tertentu. Karena bentuk umum ini, konsep fungsi adalah mendasari hampir setiap cabang matematika.
Definisi Formal
Secara formal, fungsi f dari himpunan X nilai input terhadap himpunan Y nilai output yang mungkin (ditulis ebagai f:X Y) adalah relasi antara X dan Y yang memenuhi:
*
f adalah total, atau keseluruhan: untuk seluruh x dalam X, terdapat sebuah y dalam Y sehingga x f y (x terhubungkan f menuju y), yakni untuk tiap-tiap nilai input, terdapat paling sedikit satu nilai output dalam Y.
*
f adalah banyak-menuju-satu, atau fungsional: jika x f y dan x f z, maka y=z, yakni, banyak nilai input dapat dihubungkan terhadap satu nilai output, tetapi satu nilai input tidak dapat dihubungkan terhadap banyak nilai output.
Untuk tiap-tiap nilai input x dalam domain, y nilai output unik terkait dalam kodomain dinyatakan oleh f(x). Pernyataan yang lebih ringkas dari definisi di atas adalah sebagai berikut: sebuah fungsi dari X terhadap Y adalah sebuah sub himpunan f dari perkalian kartesian X kali Y, sehingga untuk tiap-tiap x dalam X, terdapat y unik dalam Y sehingga pasangan terurut (x,y) adalah dalam f.
Himpunan dari seluruh fungsi f:X Y dinyatakan oleh YX. Catat bahwa |YX|=|Y||X| (merujuk bilangan utama). Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat
*
adalah fungsi bernilai ganda. Setiap fungsi adalah fungsi bernilai ganda, tetapi tidak setiap fungsi bernilai ganda adalah fungsi. Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat;
*
adalah fungsi parsial. Setiap fungsi adalah fungsi parsial, tetapi tidak setiap fungsi parsial adalah fungsi. Dalam bahasan ini, istilah fungsi akan berarti sebuah relasi yang memenuhi kedua syarat tersebut kecuali jika dinyatakan lain.
Domain, Kodomain dan Range
X, himpunan nilai-nilai input, disebut domain f, dan Y, himpunan nilai output yang mungkin, disebut kodomain. Range f adalah himpunan dari seluruh output aktual f(x):x dalam domain. Hati-hati, terkadang kodomain secara tidak benar disebut range karena ketidakmampuan membedakan antara nilai aktual dan nilai yang mungkin.
Fungsi-fungsi dinamai setelah range mereka, sebagai misal fungsi riil dan fungsi kompleks. Endofungsi adalah fungsi yang domain dan range adalah identik.
Fungsi Injektif, Surjektif dan Bijektif
Beberapa sifat fungsi yang sangat berguna memiliki nama-nama khusus:
*
Fungsi injektif (satu-satu) mengirimkan argumen berbeda terhadap nilai berbeda; dalam kata lain, jika x1 dan x2 adalah anggota domain f, maka f(x1)=f(x2) hanya jika x1=x2.
*
Fungsi surjektif (ke) memiliki range sama dengan kodomain mereka; dalam kata lain, jika y adalah sembarang anggota kodomain f, maka terdapat paling sedikit satu x sehingga f(x)=y.
*
Fungsi bijektif adalah kedua fungsi injektif dan surjektif; mereka seringkali digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan X dan Y adalah ukuran sama dalam beberapa pengertian.
Grafik Fungsi
Grafik fungsi f adalah himpunan dari seluruh pasangan terurut (x,f(x)), untuk seluruh x dalam domain X.
Contoh fungsi:
Relasi ln antara x bilangan riil positip dan ln(x)logaritma natural mereka. Catat bahwa relasi antara bilangan riil dan logaritma natural bukan suatu fungsi karena tidak setiap bilangan riil memiliki logaritma natural; yakni, relasi ini tidak total.
Sifat-sifat Fungsi
Fungsi dapat bersifat:
*
ganjil atau genap;
*
kontinu atau diskontinu;
*
riil atau kompleks;
*
skalar atau vektor.
Contoh Fungsi
Fungsi Rancu
Sebuah fungsi rancu (ambiguous) adalah persamaan matematika yang dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Contoh, akar kuadrat dari 4 adalah -2 atau 2 sebagaimana kuadrat keduanya adalah 4.
Dengan tegas dikatakan, fungsi rancu tidaklah sungguh-sungguh suatu fungsi karena fungsi matematika didefinisikan sebagai memiliki output unik terhadap masing-masing input yang diberikan. Dalam fakta, fungsi demikian adalah lebih baik dikategorikan sebagai relasi.
Fungsi n-ari: Fungsi Beberapa Variabel
Fungsi dalam penerapan seringkali adalah fungsi beberapa variabel, atau fungsi multivariasi: nilainya gayut pada jumlah faktor berbeda. Dari titik pandang matematika, seluruh variabel harus dibuat secara secara eksplisit agar memiliki relasi fungsional - tak diperkenankan ada faktor ‘tersembunyi’. Lagi, dari tinjauan matematika, tak ada beda kualitatif antara fungsi satu variabel dan fungsi beberapa variabel. Sebuah fungsi dari tiga variabel riil adalah hanya fungsi yang terterapkan terhadap bilangan riil tripel.
Fungsi Komposisi
Fungsi f:X Y dan g:Y Z dapat disusun dengan pertama-tama menerapkan f terhadap argumen x dan kemudian menerapkan g terhadap hasil. Jadi, kita memperoleh fungsi komposisi g 0 f:X Z didefinisikan oleh (g 0 f)(x)=g(f(x)) untuk seluruh x dalam X. Sebagai contoh, anggap bahwa ketinggian pesawat terbang pada waktu t diberikan oleh fungsi h(t) dan konsentrasi oksigen pada ketinggian x diberikan oleh fungsi c(x). Maka (c 0 h)(t) mendeskripsikan konsentrasi oksigen di sekeliling pesawat pada waktu t.
Limit
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk mendeskripsikan perilaku fungsi, ketika argumen mendekati sembarang titik, atau ketakhinggaan; atau perilaku urutan elemen, ketika indeksnya mendekati ketakhinggaan. Limit digunakan dalam kalkulus dan matematika analisis untuk mendefinisikan turunan dan kontinuitas.
Limit Fungsi pada Sebuah Titik
Anggap f(x) adalah fungsi riil dan c adalah bilangan riil. Pernyataan:
limx–>cf(x)=L
berarti bahwa f(x) dapat dibuat mendekati L sebagaimana diharapkan dengan membuat x cukup dekat terhadap c. Dalam hal tersebut, kita katakan bahwa limit f(x), ketika x mendekati c, adalah L. Catat bahwa pernyataan ini dapat menjadi benar bahkan jika f(c) tak sama dengan L. Sungguh-sungguh, fungsi f(x) bahkan tak perlu didefinisikan pada c.
Definisi Formal
Limit secara formal didefinisikan sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung c (kecuali mungkin pada c) dan misalkan L menjadi bilangan riil. Pernyataan
limx–>cf(x)=L
berarti bahwa untuk masing-masing epsilon > 0 terdapat delta > 0 sehingga untuk seluruh x dimana 0
Limit Fungsi pada Ketakhinggaan
Kita tak perlu menguji limit hanya ketika x mendekati bilangan hingga; kita dapat juga menguji limit fungsi ketika x mendekati ketakhinggaan positip atau negatip.
Jika kita meninjau kodomain dari f adalah garis riil perluasan, maka limit fungsi pada ketakhinggaan dapat ditinjau sebagai kasus khusus dari limit fungsi pada suatu titik.
Limit Barisan
Tinjau barisan berikut: 1,79, 1,799, 1,7999, … . Kita dapat mengamati bahwa bilangan mendekati 1,8, limit barisan.
Secara formal, anggap x1,x2,… adalah barisan dari bilangan riil. Kita katakan bahwa bilangan riil L adalah limit barisan ini dan kita tulis
limn–>tak hinggaxn=L jika dan hanya jika untuk setiap varepsilon > 0 terdapat sebuah bilangan natural n0 (yang akan gayut pada varepsilon)
sehingga untuk seluruh n > n0 kita memiliki |xn-L|
Secara intuitif, ini berarti bahwa dengan segera seluruh elemen dari barisan mendekati limit, karena nilai absolut |xn-L| dapat diinterpretasi sebagai jarak antara xn dan L. Tidak setiap barisan memiliki limit; jika barisan memiliki limit, kita menyebutnya konvergen, selain itu disebut divergen. Kita dapat menunjukkan bahwa barisan konvergen memiliki hanya satu limit.
Teorema Fundamental Kalkulus
Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah, dalam arti tertentu, operasi kebalikan. Lebih tepat, antiturunan dapat dihitung dengan integral definit, dan kebalikannya.
Hubungan ini memperkenankan kita untuk memulihkan perubahan total dalam suatu fungsi yang meliputi interval dari laju perubahan sesaatnya, dengan mengintegrasi kemudian.
Teorema fundamental menyediakan sebuah metode aljabar dari penghitungan banyak integral definit - tanpa melakukan proses limit - dengan mencari formula antiturunan. Ini juga solusi prototipe dari persamaan turunan. Persamaan turunan menghubungkan fungsi tak dikenal dengan turunannya, dan ada di mana-mana dalam sains.
Teorema fundamental kalkulus:
*
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan F adalah sebuah antiturunan dari f pada interval [a,b], maka int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
*
Jika f adalah kontinu pada interval terbuka I yang mengandung a, maka, untuk setiap x dalam interval, frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt=f(x).
Cabang-cabang Matematika
Aljabar
Aljabar adalah cabang matematika yang secara kasar dicirikan sebagai bentuk umum dan perluasan aritmetika, dimana simbol digunakan untuk menyatakan operasi, dan huruf untuk mewakili bilangan dan kuantitas; ini juga merujuk jenis khusus dari struktur aljabar abstrak, aljabar tentang medan. Kata aljabar berasal dari Arab
Aritmetika
Aritmetika (dari bahasa Yunani yang berarti bilangan) dalam penggunaan umum adalah cabang (atau pelopor) matematika yang mencatat sifat-sifat elementer operasi tertentu pada angka, ini seringkali dianggap sebagai sinonim untuk teori bilangan.
Geometri
Geometri (dari bahasa Yunani, Ge = bumi dan metro = mengukur) adalah cabang matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian tak mempan terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis.
Karena penerapan praktis yang segera, geometri adalah salah satu cabang matematika pertama yang dikembangkan. Demikian juga, ini adalah bidang pertama yang diletakkan pada basis aksiomatik oleh Euclid. Ilmuwan Yunani berminat dalam banyak pertanyaan tentang konstruksi penggaris dan kompas.
METODA NUMERIK
Metoda numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehinga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika. Metode numerik mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang menenuhkan, namun dengan perkembangan komputer yang cepat dan efisien, peranan metoda numerik dalam penyelesaian masalah teknik semakin meningkat. Alasan mengapa menggunakan metoda numerik adalah karena metoda numerik sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak linear serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktik keteknikan dan seringkali tidak mungkin diselesaikan dengan cara analitis.
KONSEP PERHITUNGAN ENGINEERING DENGAN MENGGUNAKAN KOMPUTER
Beberapa konsep perhitungan engineering yang digunakan pada metoda numerik meliputi:
1.
Akar-akar Persamaan, Persoalan ini beraitan dengan nilai suatu variabel atau parameter yang memnuhi suatu persamaan tunggal.
2.
Sistem Persamaan Aljabar Linear, Sekumpulan harga linear dicari agar muncul secara simultan dalam pelbagai konteks masalah dan pada setiap disiplin teknik. Khususnya persamaan yang berasal dari sejumlah besar sistem elemen yang saling berhubungan seperti struktur, rangkaian listrik dan jaringan fluida.
3.
Pencocokan Kurva, Teknik yang dilakukan terdiri dari regresi dan interpolasi. Regresi dilakukan bila terdapat suatu tingkat kesalahan yang signifikan yang berkenaan dengan data, bisanya pada data hasil percobaan. Interpolasi dipakai dengan tujuan untuk menentukan nilai-nilai tengah antara titik-titik data yang secara relatif bebas dari kesalahan.
4.
Integrasi, Suatu interpretasi fisik dari integrasi numerik akan menentukan luas dibawah kurva. Integrasi memiliki banyak aplikasi dalam praktik teknik mulai dari penentuan titik berat benda berbentuk sembarang sampai perhitungan kuantitas total berdasarkan pengukuran-pengukuran diskrit. Formula integrasi juga numerik juga memegang peranan utama dalam pemecahan persamaan kecepatan.
5.
Persamaan Diferensial, Persamaan diferensial menjadi penting karena banyak hukum fisika yang dinyatakan oleh laju perubahan suatu besaran, bukan oleh nilai kuantitas itu sendiri.
APLIKASI KOMPUTER PADA DISAIN DAN ANALISA TEKNIK
Aplikasi komputer telah digunakan secara luas dalam perancangan dan analisa teknik. Tercatat beberapa brand name piranti lunak untuk aplikasi ini seperti CATIA, SolidWork, ANSYS, HATCH, FLOMERICS, CFX5, FLUENT dan lain-lain. Gambar dibawah ini merupakan tampilan analisa CFD untuk plenum dan fan inlet duct dari HATCH.
LOGARITMA
Salah satu manfaat utama logaritma adalah menyederhanakan perhitungan. Dengan logaritma kita dapat menyederhanakan operasi perkalian dengan cara mengubahnya ke operasi penjumlahan.
Sebagai contoh, kita perhatikan operasi perkalian 234,56 X 435,21. Menghitung ini, terutama pada zaman dimana kalkulator belum ada, tentu sangatlah merepotkan. Disinilah logaritma berperan.
Mari perhatikan langkah-langkah di bawah ini:
234,56 X 435,21 = x
Kita sisipkan simbol log pada masing-masing ruas:
log10 234,56 X log10 435,21 = log x
Sesuai salah satu aturan logaritma, ruas kiri dapat kita sederhanakan menjadi
log10 234,56 + log10 435,21 = log x
logaritma dari kedua angka pada ruas kiri dapat kita cari dengan menggunakan daftar logaritma (atau dengan menggunakan kalkulator).
Hasilnya adalah
2,37025 + 2,63869 = log x
5,00894 = log x
Maka, juga dengan menggunakan daftar logaritma (atau kalkulator), kita peroleh x = 102093,9484. Dengan kalkulator kita peroleh angka 102082,8576, cukup dekat, bukan?
Manfaat lain dari logaritma adalah dalam pembuatan diagram batang. Salah satu kesulitan besar dalam pembuatan diagram batang adalah menampilkan angka-angka besar (misalnya 10 000, 100 000 dan 1000 000, dimana angka 1000 000 sulit ditampilkan dalam diagram karena jauh lebih besar daripada kedua angka lainnya). Dengan logaritma, kita dapat menyederhanakan angka-angka besar ini sehingga bisa ditampilkan di dalam diagram.
Saya harapkan penjelasan yang diberikan di atas cukup memadai bagi Bapak Imanudin. Terima Kasih atas pertanyaannya tentang Logaritma ini. Untuk pertanyaan mengenai Manfaat Kalkulus Diferensial dan Kalkulus Integral, Saya akan menjawabnya pada lain kesempatan.
LOGIKA
Logika adalah memberi kejelasan tentang sesuatu secara netral (tidak berpihak) dan obyektif (apa adanya). Logika dapat menjadi saringan terhadap emosi yang berlebihan. Sebab dengan emosi yang berlebihan, orang tidak dapat berpikir jernih.,strukturgrmet
read more...
Kuantitas
Kuantitas adalah istilah umum yang digunakan ketika merujuk pada pengukuran (perhitungan, jumlah) dari skalar, vektor, jumlah benda atau suatu cara lain dari satuan nilai himpunan.
Contoh:
*
Satu apel, dua mangga, tiga jambu, dimana bilangan adalah sebuah integer sehingga tidak memerlukan tipe.
*
1,5 liter susu.
Suatu bilangan bukanlah kuantitas, bukan pula pengukuran.
Struktur
Struktur dari sesuatu adalah bagaimana bagian-bagian dari sesuatu itu berhubungan satu sama lain, bagaimana bagian-bagian tersebut diletakkan bersama-sama.
Ruang
Dalam matematika, ruang adalah sebuah himpunan, biasanya dengan beberapa struktur tambahan. Contoh: ruang Euclidean, ruang vektor, ruang metrik, ruang topologi.
Definisi ruang dalam fisika adalah beragam. Berbagai konsep digunakan untuk mencoba mendefinisikan ruang:
*
Struktur didefinisikan oleh himpunan relasi ruang antara objek-objek.
*
Manifold didefinisikan oleh sistem koordinat dimana suatu objek dapat ditempatkan yang memisahkan objek satu sama lain.
Dalam fisika klasik, ruang adalah ruang Euclidean tiga dimensi dimana sembarang posisi dapat dideskripsikan dengan menggunakan tiga koordinat. Fisika relativistik memeriksa ruang-waktu ketimbang ruang; ruang-waktu dimodelkan sebagai manifold empat dimensi.
Perubahan
Perubahan adalah kualitas yang tak tetap dan terus-menerus. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menggunakan konsep matematika dalam kalkulus untuk menyediakan model matematika dari perubahan.
Kalkulus
Kalkulus adalah cabang utama matematika, dikembangkan dari aljabar dan geometri, dan dibangun di atas dua konsep utama yang saling melengkapi.
Konsep pertama adalah kalkulus diferensial. Ini mempelajari laju perubahan, yang biasanya digambarkan oleh kemiringan garis. Kalkulus diferensial didasarkan pada soal mencari laju perubahan sesaat dari satu kuantitas terhadap kuantitas yang lain.
Contoh soal kalkulus diferensial yang khas adalah mencari kuantitas berikut:
*
Percepatan dan kecepatan benda jatuh bebas pada waktu tertentu.
*
Berkurangnya kecepatan dan lintasan peluru meriam.
Konsep kedua adalah kalkulus integral. Ini mempelajari kumpulan kuantitas, misal luasan di bawah kurva, jarak, volume.
Kalkulus Diferensial
Turunan mengukur kepekaan dari satu variabel terhadap perubahan kecil dalam variabel lain. Tinjau formula berikut:
kecepatan=jarakwaktu, untuk objek yang bergerak pada kecepatan konstan. Kecepatan (yakni, suatu turunan) mendeskripsikan perubahan lokasi relatif terhadap perubahan waktu.
Kalkulus diferensial menentukan kecepatan sesaat, pada sembarang waktu sesaat, tidak hanya kecepatan rata-rata selama suatu interval waktu. Turunan menjawab pertanyaan: ketika waktu mendekati nol, kecepatan rata-rata (jarak/waktu) mendekati apa? Dalam bahasa matematika, ini adalah contoh dari pengambilan limit.
Lebih formal, kalkulus diferensial mendefinisikan laju perubahan sesaat (turunan) dari nilai fungsi matematika, berkaitan dengan perubahan variabel. Turunan didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan.
Hukum gerak Newton, gaya = massa x percepatan, memiliki makna dalam kalkulus karena percepatan adalah turunan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori gravitasi Einstein (relativitas umum) juga dinyatakan dalam bahasa kalkulus diferensial.
Kalkulus Integral
Integral tertentu mengevaluasi pengaruh kumulatif dari banyak perubahan kecil di dalam suatu kuantitas. Contoh paling sederhana adalah formula
jarak = kecepatan x waktu, untuk menghitung jarak suatu benda yang berpindah selama suatu periode waktu ketika benda tersebut bergerak dengan kecepatan konstan. Jarak perpindahan adalah pengaruh kumulatif dari perpindahan jarak-jarak kecil di tiap-tiap detik. Kalkulus dapat berkaitan dengan situasi alami untuk benda bergerak dengan perubahan kecepatan.
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan (daerah asal, domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain.
Fungsi dan Limit
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan daerah asal (domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain. Istilah fungsi, pemetaan, dan transformasi biasanya digunakan secara sinonim. Fungsi yang domainnya adalah himpunan fungsi, atau ruang vektor, sering disebut operator.
Utamanya, fungsi adalah aturan yang menugaskan sebuah output untuk tiap-tiap input yang diberikan. Aturan mendefinisikan suatu fungsi dapat dispesifikasi oleh suatu formula, relasi, atau tabel yang mendaftar output terhadap input. Pola terpenting dari suatu fungsi adalah ia bersifat deterministik, yakni selalu menghasilkan output yang sama dari input yang sama. Input sering disebut argumen fungsi, dan output disebut nilai fungsi.
Tipe sangat umum dari fungsi terjadi ketika argumen dan nilai fungsi keduanya adalah bilangan, relasi fungsional dinyatakan oleh suatu formula, dan nilai fungsi diperoleh dengan mensubstitusi langsung argumen ke dalam formula.
Suatu fungsi mengaitkan sebuah domain (himpunan input) dengan kodomain (himpunan output yang mungkin) dalam suatu cara sehingga setiap elemen dari domain dihubungkan dengan tepat satu elemen dari kodomain. Fungsi secara abstrak didefinisikan sebagai relasi tertentu. Karena bentuk umum ini, konsep fungsi adalah mendasari hampir setiap cabang matematika.
Definisi Formal
Secara formal, fungsi f dari himpunan X nilai input terhadap himpunan Y nilai output yang mungkin (ditulis ebagai f:X Y) adalah relasi antara X dan Y yang memenuhi:
*
f adalah total, atau keseluruhan: untuk seluruh x dalam X, terdapat sebuah y dalam Y sehingga x f y (x terhubungkan f menuju y), yakni untuk tiap-tiap nilai input, terdapat paling sedikit satu nilai output dalam Y.
*
f adalah banyak-menuju-satu, atau fungsional: jika x f y dan x f z, maka y=z, yakni, banyak nilai input dapat dihubungkan terhadap satu nilai output, tetapi satu nilai input tidak dapat dihubungkan terhadap banyak nilai output.
Untuk tiap-tiap nilai input x dalam domain, y nilai output unik terkait dalam kodomain dinyatakan oleh f(x). Pernyataan yang lebih ringkas dari definisi di atas adalah sebagai berikut: sebuah fungsi dari X terhadap Y adalah sebuah sub himpunan f dari perkalian kartesian X kali Y, sehingga untuk tiap-tiap x dalam X, terdapat y unik dalam Y sehingga pasangan terurut (x,y) adalah dalam f.
Himpunan dari seluruh fungsi f:X Y dinyatakan oleh YX. Catat bahwa |YX|=|Y||X| (merujuk bilangan utama). Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat
*
adalah fungsi bernilai ganda. Setiap fungsi adalah fungsi bernilai ganda, tetapi tidak setiap fungsi bernilai ganda adalah fungsi. Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat;
*
adalah fungsi parsial. Setiap fungsi adalah fungsi parsial, tetapi tidak setiap fungsi parsial adalah fungsi. Dalam bahasan ini, istilah fungsi akan berarti sebuah relasi yang memenuhi kedua syarat tersebut kecuali jika dinyatakan lain.
Domain, Kodomain dan Range
X, himpunan nilai-nilai input, disebut domain f, dan Y, himpunan nilai output yang mungkin, disebut kodomain. Range f adalah himpunan dari seluruh output aktual f(x):x dalam domain. Hati-hati, terkadang kodomain secara tidak benar disebut range karena ketidakmampuan membedakan antara nilai aktual dan nilai yang mungkin.
Fungsi-fungsi dinamai setelah range mereka, sebagai misal fungsi riil dan fungsi kompleks. Endofungsi adalah fungsi yang domain dan range adalah identik.
Fungsi Injektif, Surjektif dan Bijektif
Beberapa sifat fungsi yang sangat berguna memiliki nama-nama khusus:
*
Fungsi injektif (satu-satu) mengirimkan argumen berbeda terhadap nilai berbeda; dalam kata lain, jika x1 dan x2 adalah anggota domain f, maka f(x1)=f(x2) hanya jika x1=x2.
*
Fungsi surjektif (ke) memiliki range sama dengan kodomain mereka; dalam kata lain, jika y adalah sembarang anggota kodomain f, maka terdapat paling sedikit satu x sehingga f(x)=y.
*
Fungsi bijektif adalah kedua fungsi injektif dan surjektif; mereka seringkali digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan X dan Y adalah ukuran sama dalam beberapa pengertian.
Grafik Fungsi
Grafik fungsi f adalah himpunan dari seluruh pasangan terurut (x,f(x)), untuk seluruh x dalam domain X.
Contoh fungsi:
Relasi ln antara x bilangan riil positip dan ln(x)logaritma natural mereka. Catat bahwa relasi antara bilangan riil dan logaritma natural bukan suatu fungsi karena tidak setiap bilangan riil memiliki logaritma natural; yakni, relasi ini tidak total.
Sifat-sifat Fungsi
Fungsi dapat bersifat:
*
ganjil atau genap;
*
kontinu atau diskontinu;
*
riil atau kompleks;
*
skalar atau vektor.
Contoh Fungsi
Fungsi Rancu
Sebuah fungsi rancu (ambiguous) adalah persamaan matematika yang dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Contoh, akar kuadrat dari 4 adalah -2 atau 2 sebagaimana kuadrat keduanya adalah 4.
Dengan tegas dikatakan, fungsi rancu tidaklah sungguh-sungguh suatu fungsi karena fungsi matematika didefinisikan sebagai memiliki output unik terhadap masing-masing input yang diberikan. Dalam fakta, fungsi demikian adalah lebih baik dikategorikan sebagai relasi.
Fungsi n-ari: Fungsi Beberapa Variabel
Fungsi dalam penerapan seringkali adalah fungsi beberapa variabel, atau fungsi multivariasi: nilainya gayut pada jumlah faktor berbeda. Dari titik pandang matematika, seluruh variabel harus dibuat secara secara eksplisit agar memiliki relasi fungsional - tak diperkenankan ada faktor ‘tersembunyi’. Lagi, dari tinjauan matematika, tak ada beda kualitatif antara fungsi satu variabel dan fungsi beberapa variabel. Sebuah fungsi dari tiga variabel riil adalah hanya fungsi yang terterapkan terhadap bilangan riil tripel.
Fungsi Komposisi
Fungsi f:X Y dan g:Y Z dapat disusun dengan pertama-tama menerapkan f terhadap argumen x dan kemudian menerapkan g terhadap hasil. Jadi, kita memperoleh fungsi komposisi g 0 f:X Z didefinisikan oleh (g 0 f)(x)=g(f(x)) untuk seluruh x dalam X. Sebagai contoh, anggap bahwa ketinggian pesawat terbang pada waktu t diberikan oleh fungsi h(t) dan konsentrasi oksigen pada ketinggian x diberikan oleh fungsi c(x). Maka (c 0 h)(t) mendeskripsikan konsentrasi oksigen di sekeliling pesawat pada waktu t.
Limit
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk mendeskripsikan perilaku fungsi, ketika argumen mendekati sembarang titik, atau ketakhinggaan; atau perilaku urutan elemen, ketika indeksnya mendekati ketakhinggaan. Limit digunakan dalam kalkulus dan matematika analisis untuk mendefinisikan turunan dan kontinuitas.
Limit Fungsi pada Sebuah Titik
Anggap f(x) adalah fungsi riil dan c adalah bilangan riil. Pernyataan:
limx–>cf(x)=L
berarti bahwa f(x) dapat dibuat mendekati L sebagaimana diharapkan dengan membuat x cukup dekat terhadap c. Dalam hal tersebut, kita katakan bahwa limit f(x), ketika x mendekati c, adalah L. Catat bahwa pernyataan ini dapat menjadi benar bahkan jika f(c) tak sama dengan L. Sungguh-sungguh, fungsi f(x) bahkan tak perlu didefinisikan pada c.
Definisi Formal
Limit secara formal didefinisikan sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung c (kecuali mungkin pada c) dan misalkan L menjadi bilangan riil. Pernyataan
limx–>cf(x)=L
berarti bahwa untuk masing-masing epsilon > 0 terdapat delta > 0 sehingga untuk seluruh x dimana 0
Limit Fungsi pada Ketakhinggaan
Kita tak perlu menguji limit hanya ketika x mendekati bilangan hingga; kita dapat juga menguji limit fungsi ketika x mendekati ketakhinggaan positip atau negatip.
Jika kita meninjau kodomain dari f adalah garis riil perluasan, maka limit fungsi pada ketakhinggaan dapat ditinjau sebagai kasus khusus dari limit fungsi pada suatu titik.
Limit Barisan
Tinjau barisan berikut: 1,79, 1,799, 1,7999, … . Kita dapat mengamati bahwa bilangan mendekati 1,8, limit barisan.
Secara formal, anggap x1,x2,… adalah barisan dari bilangan riil. Kita katakan bahwa bilangan riil L adalah limit barisan ini dan kita tulis
limn–>tak hinggaxn=L jika dan hanya jika untuk setiap varepsilon > 0 terdapat sebuah bilangan natural n0 (yang akan gayut pada varepsilon)
sehingga untuk seluruh n > n0 kita memiliki |xn-L|
Secara intuitif, ini berarti bahwa dengan segera seluruh elemen dari barisan mendekati limit, karena nilai absolut |xn-L| dapat diinterpretasi sebagai jarak antara xn dan L. Tidak setiap barisan memiliki limit; jika barisan memiliki limit, kita menyebutnya konvergen, selain itu disebut divergen. Kita dapat menunjukkan bahwa barisan konvergen memiliki hanya satu limit.
Teorema Fundamental Kalkulus
Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah, dalam arti tertentu, operasi kebalikan. Lebih tepat, antiturunan dapat dihitung dengan integral definit, dan kebalikannya.
Hubungan ini memperkenankan kita untuk memulihkan perubahan total dalam suatu fungsi yang meliputi interval dari laju perubahan sesaatnya, dengan mengintegrasi kemudian.
Teorema fundamental menyediakan sebuah metode aljabar dari penghitungan banyak integral definit - tanpa melakukan proses limit - dengan mencari formula antiturunan. Ini juga solusi prototipe dari persamaan turunan. Persamaan turunan menghubungkan fungsi tak dikenal dengan turunannya, dan ada di mana-mana dalam sains.
Teorema fundamental kalkulus:
*
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan F adalah sebuah antiturunan dari f pada interval [a,b], maka int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
*
Jika f adalah kontinu pada interval terbuka I yang mengandung a, maka, untuk setiap x dalam interval, frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt=f(x).
Cabang-cabang Matematika
Aljabar
Aljabar adalah cabang matematika yang secara kasar dicirikan sebagai bentuk umum dan perluasan aritmetika, dimana simbol digunakan untuk menyatakan operasi, dan huruf untuk mewakili bilangan dan kuantitas; ini juga merujuk jenis khusus dari struktur aljabar abstrak, aljabar tentang medan. Kata aljabar berasal dari Arab
Aritmetika
Aritmetika (dari bahasa Yunani yang berarti bilangan) dalam penggunaan umum adalah cabang (atau pelopor) matematika yang mencatat sifat-sifat elementer operasi tertentu pada angka, ini seringkali dianggap sebagai sinonim untuk teori bilangan.
Geometri
Geometri (dari bahasa Yunani, Ge = bumi dan metro = mengukur) adalah cabang matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian tak mempan terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis.
Karena penerapan praktis yang segera, geometri adalah salah satu cabang matematika pertama yang dikembangkan. Demikian juga, ini adalah bidang pertama yang diletakkan pada basis aksiomatik oleh Euclid. Ilmuwan Yunani berminat dalam banyak pertanyaan tentang konstruksi penggaris dan kompas.
METODA NUMERIK
Metoda numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehinga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika. Metode numerik mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang menenuhkan, namun dengan perkembangan komputer yang cepat dan efisien, peranan metoda numerik dalam penyelesaian masalah teknik semakin meningkat. Alasan mengapa menggunakan metoda numerik adalah karena metoda numerik sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak linear serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktik keteknikan dan seringkali tidak mungkin diselesaikan dengan cara analitis.
KONSEP PERHITUNGAN ENGINEERING DENGAN MENGGUNAKAN KOMPUTER
Beberapa konsep perhitungan engineering yang digunakan pada metoda numerik meliputi:
1.
Akar-akar Persamaan, Persoalan ini beraitan dengan nilai suatu variabel atau parameter yang memnuhi suatu persamaan tunggal.
2.
Sistem Persamaan Aljabar Linear, Sekumpulan harga linear dicari agar muncul secara simultan dalam pelbagai konteks masalah dan pada setiap disiplin teknik. Khususnya persamaan yang berasal dari sejumlah besar sistem elemen yang saling berhubungan seperti struktur, rangkaian listrik dan jaringan fluida.
3.
Pencocokan Kurva, Teknik yang dilakukan terdiri dari regresi dan interpolasi. Regresi dilakukan bila terdapat suatu tingkat kesalahan yang signifikan yang berkenaan dengan data, bisanya pada data hasil percobaan. Interpolasi dipakai dengan tujuan untuk menentukan nilai-nilai tengah antara titik-titik data yang secara relatif bebas dari kesalahan.
4.
Integrasi, Suatu interpretasi fisik dari integrasi numerik akan menentukan luas dibawah kurva. Integrasi memiliki banyak aplikasi dalam praktik teknik mulai dari penentuan titik berat benda berbentuk sembarang sampai perhitungan kuantitas total berdasarkan pengukuran-pengukuran diskrit. Formula integrasi juga numerik juga memegang peranan utama dalam pemecahan persamaan kecepatan.
5.
Persamaan Diferensial, Persamaan diferensial menjadi penting karena banyak hukum fisika yang dinyatakan oleh laju perubahan suatu besaran, bukan oleh nilai kuantitas itu sendiri.
APLIKASI KOMPUTER PADA DISAIN DAN ANALISA TEKNIK
Aplikasi komputer telah digunakan secara luas dalam perancangan dan analisa teknik. Tercatat beberapa brand name piranti lunak untuk aplikasi ini seperti CATIA, SolidWork, ANSYS, HATCH, FLOMERICS, CFX5, FLUENT dan lain-lain. Gambar dibawah ini merupakan tampilan analisa CFD untuk plenum dan fan inlet duct dari HATCH.
LOGARITMA
Salah satu manfaat utama logaritma adalah menyederhanakan perhitungan. Dengan logaritma kita dapat menyederhanakan operasi perkalian dengan cara mengubahnya ke operasi penjumlahan.
Sebagai contoh, kita perhatikan operasi perkalian 234,56 X 435,21. Menghitung ini, terutama pada zaman dimana kalkulator belum ada, tentu sangatlah merepotkan. Disinilah logaritma berperan.
Mari perhatikan langkah-langkah di bawah ini:
234,56 X 435,21 = x
Kita sisipkan simbol log pada masing-masing ruas:
log10 234,56 X log10 435,21 = log x
Sesuai salah satu aturan logaritma, ruas kiri dapat kita sederhanakan menjadi
log10 234,56 + log10 435,21 = log x
logaritma dari kedua angka pada ruas kiri dapat kita cari dengan menggunakan daftar logaritma (atau dengan menggunakan kalkulator).
Hasilnya adalah
2,37025 + 2,63869 = log x
5,00894 = log x
Maka, juga dengan menggunakan daftar logaritma (atau kalkulator), kita peroleh x = 102093,9484. Dengan kalkulator kita peroleh angka 102082,8576, cukup dekat, bukan?
Manfaat lain dari logaritma adalah dalam pembuatan diagram batang. Salah satu kesulitan besar dalam pembuatan diagram batang adalah menampilkan angka-angka besar (misalnya 10 000, 100 000 dan 1000 000, dimana angka 1000 000 sulit ditampilkan dalam diagram karena jauh lebih besar daripada kedua angka lainnya). Dengan logaritma, kita dapat menyederhanakan angka-angka besar ini sehingga bisa ditampilkan di dalam diagram.
Saya harapkan penjelasan yang diberikan di atas cukup memadai bagi Bapak Imanudin. Terima Kasih atas pertanyaannya tentang Logaritma ini. Untuk pertanyaan mengenai Manfaat Kalkulus Diferensial dan Kalkulus Integral, Saya akan menjawabnya pada lain kesempatan.
LOGIKA
Logika adalah memberi kejelasan tentang sesuatu secara netral (tidak berpihak) dan obyektif (apa adanya). Logika dapat menjadi saringan terhadap emosi yang berlebihan. Sebab dengan emosi yang berlebihan, orang tidak dapat berpikir jernih.,strukturgrmet
